数学笔记：函数入门

函数是数学中一个核心且基础的概念，贯穿于代数、几何、微积分等众多领域。简单来说，函数描述了两个集合之间的一种特定关系。

函数的定义

非正式地，函数可以看作是一个“规则”或“机器”，它接收一个输入值，并根据这个规则产生一个唯一的输出值。

更严谨地说，一个函数 $f$ 是一个从集合 $A$（称为定义域）到集合 $B$（称为值域或上域）的关系，使得集合 $A$ 中的每一个元素，在集合 $B$ 中都有唯一一个元素与之对应。

我们通常用符号 $f: A \to B$ 来表示函数 $f$ 从集合 $A$ 映射到集合 $B$。如果 $a \in A$ 的对应元素是 $b \in B$，我们记作 $f(a) = b$。

其中：

  • 集合 $A$ 是函数的定义域 (Domain)。
  • 集合 $B$ 是函数的值域 (Codomain) 或上域。
  • 集合 ${ f(a) \mid a \in A }$ 是函数 $f$ 的像 (Image) 或值域 (Range)，它是集合 $B$ 的一个子集。注意区分值域 (Codomain) 和像 (Image/Range)。

函数的表示方法

函数可以通过多种方式表示：

  1. 解析法： 用数学表达式表示函数关系，例如 $f(x) = x^2$ 或 $g(x) = \sin(x)$。
  2. 表格法： 列出输入值和对应的输出值。
    输入 (x) 输出 (f(x))
    1 1
    2 4
    3 9
  3. 图像法： 在坐标系中绘制出所有 $(x, f(x))$ 点组成的曲线。例如，$f(x) = x^2$ 的图像是一条抛物线。
  4. 文字描述法： 用语言描述函数规则。例如：“函数 $f$ 将每个实数映射到其平方。”

常见的函数类型

数学中有许多不同类型的函数，例如：

  • 常函数 (Constant Function): $f(x) = c$，其中 $c$ 是一个常数。例如 $f(x) = 5$。
  • 幂函数 (Power Function): $f(x) = x^n$，其中 $n$ 是一个实数。例如 $f(x) = x^2$, $f(x) = \sqrt{x}$。
  • 指数函数 (Exponential Function): $f(x) = a^x$，其中 $a > 0$ 且 $a \ne 1$。例如 $f(x) = 2^x$, $f(x) = e^x$。
  • 对数函数 (Logarithmic Function): $f(x) = \log_a(x)$，其中 $a > 0$ 且 $a \ne 1$，且 $x > 0$。例如 $f(x) = \ln(x)$。
  • 三角函数 (Trigonometric Functions): 如 $\sin(x), \cos(x), \tan(x)$ 等。
  • 分段函数 (Piecewise Function): 在定义域的不同部分由不同的表达式定义的函数。
    例如：
    $$
    f(x) = \begin{cases}
    x^2 & \text{if } x < 0 \
    x+1 & \text{if } x \ge 0
    \end{cases}
    $$

函数的性质

函数有很多重要的性质，例如：

  • 单调性 (Monotonicity): 函数在某个区间上是递增、递减或不变的。
  • 奇偶性 (Parity): 函数是奇函数 ($f(-x) = -f(x)$) 还是偶函数 ($f(-x) = f(x)$)。
  • 周期性 (Periodicity): 对于某个非零常数 $T$，如果 $f(x+T) = f(x)$ 对所有 $x$ 都成立，则函数是周期函数，$T$ 是它的一个周期。例如 $\sin(x)$ 的周期是 $2\pi$。

这只是函数概念的初步介绍，函数的世界广阔而精彩，是深入学习各种数学分支的基础！